La trisection de l'angle    
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Alzon et la trisection de l'angle

Un antique problème

Dès la seconde moitié du Ve siècle avant J.-C., dans le monde hellénique, des problèmes géométriques dont la résolution implique des équations dépassant le second degré ont été abordés, mais non résolus : les problèmes du premier et du deuxième degré pouvaient seuls, en effet, être résolus au moyen de la règle et du compas.

Dans cette catégorie de problèmes impossibles se rangent les trois problèmes fameux de l'Antiquité : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle.

Alzon le Géomètre (IIe s.) réussit à trouver un angle original pour aborder le troisième problème et formula le premier le principe de sa résolution.

La trisection de l'angle est-elle possible au moyen de la règle et du compas ?

Avec la règle et le compas, nous pouvons diviser un angle quelconque en deux parties égales en construisant sa bissectrice.

De même, la quadrisection (division d'un angle en quatre parties égales) est toujours possible pour n’importe quel angle, puisqu’il suffit de diviser cet angle en deux, puis encore en deux, à l’aide du compas. Mais qu'en est-il de la trisection ?

Ce dernier problème, faisant intervenir une équation du troisième degré, ne peut donc, en principe, être résolu au moyen de la règle et du compas, dans l'espace à deux dimensions d'une feuille. Il faut donc ajouter une dimension nouvelle pour le résoudre à l'aide de ces deux instruments : or, Alzon , dans sa Summa geometrica (ouvrage aujourd'hui perdu), aurait énoncé un raisonnement et une formule incluant le temps, permettant ainsi la résolution de la trisection. En effet, si l'on ajoute la dimension temporelle aux deux premières dimensions de l'espace, ce problème du troisième degré devient soluble !

Le raisonnement d'Alzon

Selon Dom Munius, paraphrasant Alzon, dont il avait acquis à prix d'or un exemplaire rarissime de l'ouvrage : Positum sit aliquantum inter tres homines dividendum esse, te autem sciente dividere quattuor in partes. Primum cuique pars prima dabitur : remanebit quarta pars. Ha parte in quattuor partes divisa, cuique da partem, una remanente. Sic, multis post quadripartitionibus, quoties manerit pars una, quoties minor, quam quoties in quattuor partes divides et cuique unam dabis et manentem divides. Si autem continuatur operatio, dividenda pars minor erit quam acerrima dividens acies. Hic finem inveniat operatio. « Suppose qu'une quantité soit à partager entre trois personnes, mais que tu ne saches partager qu’en quatre. Il sera donc d’abord donné à chacun un quart de la quantité initiale : il restera une quatrième part. Partage cette part en quatre et donne une part à chacun : il restera encore une part. Ainsi, les quadrisections se succédant les unes aux autres, il restera toujours une part, de plus en plus petite, que tu partageras toujours en quatre, dont tu distribueras toujours les trois premières et partagera toujours celle qui demeure. Pourtant, si l’on poursuit l’opération, la partie à partager finira par être plus fine que l'outil servant à la partager. Et l'opération trouvera ici son terme. » (Munius, Opus mathematicum, III, Alzo, x.)

La série d'Alzon

Alzon en déduit ce que l’on peut formuler ainsi : « Le tiers de n’importe quelle quantité est égal à la somme des termes [d’une suite infinie1] dont le premier terme est le quart de la quantité à partager et dont chaque autre est le quart de celui qui le précède. »


1. C'est nous qui ajoutons.


En d'autres termes, Alzon avait eu l'intuition de la série fractionnaire infinie suivante :

1/3 = 1/4 + 1/42 + 1/43+ 1/44+ 1/45+ 1/46 + ... + 1/4n
n tendant vers l'infini (n → ∞).

En effet :

On voit la série converger très rapidement vers 0,333333..., c'est-à-dire 1/3.

Ayant déterminé la formule générale, Alzon l’applique aussitôt, bien entendu, au partage des secteurs angulaires afin de résoudre le problème de la trisection : Igitur tertia pars qualiscumque anguli cerne aequalis puta cum quarta parte hujus anguli aucta quarta parte hae partis aucta quartae partis hae partis istae partis, sic continue aucta quarta parte prioris partis. Hac ratione et via repetentibus, tandem acies calami partem dividendam superabit. Hic finem inveniat operatio. « Le tiers de n’importe quel angle est donc égal au quart de cet angle augmenté du quart du quart suivant, puis du quart du quart de quart suivant, puis continûment du quart de la partie ajoutée précédente. Ce processus se répétant, l'épaisseur du stylet finira par dépasser l'intervalle à diviser, et l'opération trouvera ici son terme.» (Munius, Op. math., III, Alzo, xiii.)

Une illustration de la trisection angulaire selon Alzon

Trisection